Определитель матрицы четвертого порядка


Выполняем контрольные, рефераты, курсовые, дипломы по всем предметам. Сегодня затронем очень распространенную задачу в курсе высшей математики — вычисление определителя матрицы. С необходимостью вычисления определителя можно встретиться в большинстве предметов, поэтому уметь его находить нужно обязательно. Что же такое определитель? Определитель — это многочлен, комбинирующий элементы квадратной матрицы таким образом, что его значение сохраняется при транспонировании и линейных комбинациях строк или столбцов. Тогда забудьте, для решения задач вам это не пригодится. А вот что стоит запомнить, так это то, что вычислить определитель можно только для квадратной матрицы. Чаще всего на практике требуется найти определитель матриц 2х2 и 3х3. Реже — определитель 4-го порядка. Что значит найти определитель? Вычислить определитель — это значит найти число. И еще пару слов про обозначения. Определитель матрицы A чаще всего обозначают Aреже можно встретить обозначение det A или Δ, и совсем не часто латинскую Начнем грызть этот гранит с определителя размерности 2х2. Запомните эту формулу, кроме нее вам ничего не придется запоминать, определители 3-го, 4-го и высших порядков считаются, основываясь на ней. Пусть дана матрица А и стоит задача посчитать ее определитель. Будьте внимательны со знаками. И еще одна задачка на закрепление. Найти определитель матрицы Переходим к матрицам 3х3. Для нахождения определителя матрицы 3-го порядка существует формула: Но как по мне, запоминать ее — только над своим мозгом издеваться. Можно, конечно, пользоваться ей с листочка, но велика вероятность запутаться. Есть более простой вариант использования этой формулы — способ Саррюса. Записываем определитель и справа приписываем первый и второй столбец, затем мысленно или ручкой проводим диагонали «крест-накрест»: Множители, находящиеся на диагоналях «слева-направо» записываются со знаком плюс. Множители, находящиеся на диагоналях «справа-налево» записываются со знаком минус. Если приглядеться, то мы получили формулу, данную чуть выше, только теперь ничего не надо запоминать. Этот метод вычисления хоть и довольно прост, но не пользуется большой популярностью. В большинстве случаев для матриц 3-го порядка применяется метод раскрытия по строке столбцу. Поэтому следует научиться решать именно этим методом, а не предыдущим. Суть метода: Определитель матрицы равен сумме произведений элементов строки столбца на соответствующие алгебраические дополнения. Держите себя в руках — все не так страшно. Найти определитель матрицы В данном случае удобнее раскрыть определитель по первой строке, поскольку в ней присутствует 0, что несколько упростит вычисления. Мысленно выделяем первую строку я для наглядности обведу ее красным цветом. В этом месте хочу сделать отступление и напомнить общепринятый вид матрицы. До этого для простоты использовалось обозначение матрицы черезно теперь нас не устроят эти обозначения, поскольку дальше вы ничего не поймете. Матрицы принято записывать с помощью двойных индексов, первый из которых обозначает номер строки, а второй — номер столбца, в котором стоит элемент. Теперь, ориентируясь на эту классическую матрицу, выписываем из нашей матрицы первый элемент первой строки, т. Затем умножаем его нагде 1+1 в степени взялись из нижнего индекса. И, наконец, трюк с вычеркиванием. Мысленно вычеркиваем строку и столбец, в котором стоит первый элемент первую строку и первый столбеца все что осталось записываем в определитель. Теперь уже он имеет размерность 2х2. Итак, в первом слагаемом мы имеем: Переходим ко второму слагаемому. Выписываем второй элемент первой строки. В общем виде он имеет маркировкуи в нашем случае равен 0. Дальнейшие множители в практическом задании выписывать не имело бы смысла, но я распишу все подробно, чтобы было понятно откуда что берется. Умножаем на вездесущую где 1+2 снова взяли из нижнего индексатем самым обозначили, что мы рассматриваем элемент, который стоит в первой строке и во втором столбце. Затем мысленно вычеркиваем строку и столбец, в котором стоит. Оставшееся переписываем в определитель 2х2 и умножаем на то, что уже имеется во втором слагаемом: Наконец, третий элемент первой строки. Мысленно вычеркиваем строку и столбец, в котором стоитоставшееся записываем в определитель 2х2. Ну вот, основная работа сделана — мы разложили определитель 3-ей размерности по первой строке. В этом разложении теперь присутствуют определители 2-го порядка, а что делать с ними мы уже изучили в начале данной статьи. Главное быть внимательным и не запутаться в знаках. В данном примере мы раскладывали определитель по первой строке, поскольку в ней стоит и это избавляет нас от подсчета одного слагаемого. Если бы стоял в первом столбце и во второй или третьей строке, то было бы целесообразно раскладывать определитель по первому столбцу. Если же нулей в матрице нет, то можно раскладывать по ЛЮБОЙ строке или по ЛЮБОМУ столбцу — смотря что вам больше понравится. Для закрепления материала давайте найдем определитель матрицы без нулей. И разложим его по второму столбцу так мне захотелось. Матрица придумана мной, поэтому определитель получился таким жестоким. На практике такие почти не встречаются. Определитель матрицы 4х4 вычисляется по той же схеме. Для примера разложу один, но для определителя 4-го порядка получаются весьма громоздкие вычисления и шанс где-нибудь ошибиться резко возрастает. Поэтому, для нахождения определителей выше 3-го порядка существуют более эффективные способы. С ними мы и познакомимся в следующий. Найти определитель матрицы Решение:.

Смотри также